Séminaires

Entre 1850 et 1970, deux développements majeurs venus des mathématiques elles-mêmes ont changé radicalement l’apparence philosophique de cette discipline. D’une part, la formalisation de l’analyse et de la théorie des ensembles ont mené aux travaux de Cantor, à l’effort d’axiomatisation des mathématiques et de là aux résultats de Gödel et à la technique du forcing. Ce développement a eu une influence considérable sur l’épistémologie des mathématiques. D’autre part, les conjectures de Riemann, Dedekind et Ramanujan ont ouvert la voie à une réorganisation de certaines branches des mathématiques autour de grands problèmes conjecturaux. Dans cet exposé, je décrirai quelques problèmes épistémologiques que ce développement me semble soulever.

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In 1993, Ziv and Merhav proposed a “new notion of empirical informational divergence”, or relative-entropy estimator which has met great practical application, yet has seen no significant development in the mathematical literature until recently. In this talk, I will compare their algorithm with more conventional universal entropic estimators and discuss a recent generalization of the Ziv-Merhav Theorem. This extension encompasses a broader class of decoupled measures including the the class of multi-level Markov measures covered by the original result as well as suitably regular g-measures amongst other examples. Joint work with R. Grondin, G. Pozzoli, and R. Raquépas.

Orateur : Alexandre Legrand (Univ. Lyon 1) Les processus de branchement avec sélection sont très utilisés en bio-mathématiques pour modéliser l'évolution de populations de taille bornée; en informatique pour définir des algorithmes d'optimisation sur données hiérarchiques (appelés "beam search"); ou encore pour le lien avec l'équation de réaction-diffusion F-KPP. Dans cet exposé, nous déterminons la "vitesse" de processus de branchements, plus précisément du mouvement brownien branchant (BBM) et de la marche aléatoire branchante (BRW), que nous supposons inhomogènes en temps et soumis à une procédure de sélection (i.e. on ne conserve que N individus à chaque instant). Nous montrons que cette vitesse est sujette à une "transition de phase" en fonction de la taille de la population N; et nous déterminons dans chaque régime l'effet de l'inhomogénéité en temps sur la vitesse.

Oratrice : Julie Tourniaire (ISTA, Vienne) We consider a system of particles performing a one-dimensional dyadic branching Brownian motion with space-dependent branching rate $r(x)$, negative drift $−\mu$, and killed upon reaching 0. More precisely, the particles branch at rate $\rho/2$ in $[0, 1]$, for some $\rho\geq 1$, and at rate $1/2$ in $(1, +\infty)$. The drift $\mu = \mu(\rho)$ is chosen in such a way that the system is critical. This system can be seen as an analytically tractable model for fluctuating fronts, describing the internal mechanisms driving the invasion of a habitat by a cooperating population. Recent studies by Birzu, Hallatschek and Korolev on the noisy FKPP equation with Allee effect (or cooperation) suggest the existence of three classes of fluctuating fronts: pulled, semi-pushed and fully-pushed fronts. In this talk, we will focus on the pushed regime. We will show that the particle system exhibits the same phase transitions as the noisy FKPP equation. We will then use this system to explain how the internal mechanisms driving an invasion shape the genealogy of the population.

Oratrice : Noura Dridi (ENSMM) Les réseaux de neurones (RN) constituent un outil performant pour diverses applications : prédiction, classification, ... et qui couvrent plusieurs domaines: médical, géosciences, mécanique... Les RN sont moins restrictives en matière d'hypothèse sur le modèle représentant le système, comme ils sont basés sur un apprentissage par les données. Toutefois, tout système réel incarne plusieurs sources d'incertitude : erreurs de mesure, incertitude liée à l'algorithme de décision. Ainsi, il est important de mesurer et de quantifier cette incertitude. En particulier avec les algorithmes d'apprentissage profond, il est pertinent de fournir une décision avec un niveau de confiance. Je présenterai une méthode qui utilise la technique du dropout pour mesurer l'incertitude liée au RN. La méthode est équivalente à une approximation bayésienne d'un processus Gaussien i.e. minimiser la fonction coût du RN est équivalent à une approximation variationnelle de la distribution a posteriori de la fonction reliant les entrées et sorties. L'avantage que l'ajout de la couche dropout n'augmentera pas la complexité calculatoire de l'algorithme. Un exemple d'application pour la prédiction du mouvement d'éolienne en mer en fonction des conditions environnementales sera détaillé.

La théorie des fonctions L est omniprésente dans beaucoup des plus grands programmes de recherches en théorie des nombres moderne. Parmi ceux-ci se trouvent les conjectures sur les valeurs spéciales. Ces conjectures énoncent grossièrement que "S’il y a de l’arithmétique, alors il y a des fonctions L leurs comportements en zéro nous donnent des informations très riches sur l’arithmétique dont elles sont issues".
Plus concrètement, nous nous focaliserons sur un objet arithmétique en particulier, les variétés abéliennes. Après les avoir définies, nous construirons leurs fonctions L. Dans ce contexte particulier les conjectures sur les valeurs spéciales des fonctions L sont en fait les conjectures de Birch & Swinerton-Dyer, mais ces dernières étant trop compliqués on formule une conjecture intermédiaire: La conjecture principale de Iwasawa.
En fonction du temps qu’il nous restera nous verrons quel type de méthodes on peut employer pour avancer, lentement, vers une démonstration de ces conjectures.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème inverse posé sur un réseau en forme d’arbre où nous avons sur chaque arête l’équation des ondes avec potentiel, les nœuds externes ont des conditions aux limites de Dirichlet et les nœuds internes suivent la loi de Kirchoff. L’objectif principal est la reconstruction du potentiel partout sur le réseau, à partir de mesures de Neumann sur tous les sommets externes sauf un. En tirant parti de la stabilité Lipschitzienne de ce problème inverse, nous visons à fournir un algorithme de reconstruction efficace basé sur l’utilisation d’une estimation de Carleman globale appropriée. Il s’agit d’un travail commun avec Lucie Baudouin, Maya de Buhan et Emmanuelle Crépeau.

Dans cet exposé nous discuterons des résultats obtenus récemment sur le temps minimal de contrôle pour les systèmes hyperboliques linéaires d’ordre un en dimension un d’espace.
Nous présenterons plusieurs situations où nous avons une formule de ce temps qui est explicite et facile à calculer en fonction des paramètres du système (vitesses, matrices de couplage interne et au bord).
Les preuves reposent sur plusieurs ingrédients : une décomposition canonique de type LU pour la matrice de couplage au bord, la méthode de compacité-unicité, la méthode de backstepping ou encore le théorème de convolution de Titchmarsh.
Cet exposé est basé sur plusieurs travaux en collaboration avec Long Hu.

La régression distributionnelle est largement utilisée dans de nombreux domaines appliqués. En prévision météorologique, de nombreuses techniques de post-traitement statistique s'inscrivent dans ce cadre et utilisent des règles de notation pour évaluer les performances des prévisions. Le score de probabilité continue classée (CRPS) est une règle de notation largement utilisée et possède des propriétés théoriques intéressantes. Nous étudions le taux de convergence minimax optimal pour une classe donnée de distributions en terme de risque théorique associé au CRPS. Afin d'étudier la cohérence universelle du cadre de régression distributionnelle, nous prenons du recul par rapport aux règles de notations et nous adaptons le théorème de Stone aux distances de Wasserstein. Cela nous permet d'obtenir des résultats pour des distributions multivariées.

Sur domaine borné (ouvert à bord, variété compacte avec ou sans bord), on rappellera comment l’observabilité des ondes et leur contrôlabilité sont des notions duales, pour se concentrer sur la première et un schéma de démonstration fondé, au moyen de mesures dans l’espace des phases, sur la compréhension de potentielles concentrations d’ondes. Ces mesures obéissent à une équation de transport. On regardera cette équation et ses conséquences pour le support de la mesure quand les coefficients de l’équation des ondes ont une régularité basse, C^1 dans notre cas. Cette régularité permet de définir des géodésiques mais pas de flot géodésique en général. Si le temps permet on regardera certaines subtilités qui se produisent au bord du domaine.