XXIIIe Journée de l’École Doctorale Carnot-Pasteur

Nonlinear Schrödinger equations have been extensively studied throughout the years due to their many applications including, for example, quantum mechanics. Classically, these equations were set on all RN and sometimes on bounded domains. Rather recently however, nonlinear Schrödinger equations have started to be considered on metric graphs. These one-dimensional structures happen to model a whole new collection of situations. In this presentation we will introduce the problem of stationary solutions for some of nonlinear Schrödinger equations on metric graphs, and talk about state the general strategies used to find existence of solutions.

For a group G, being decomposable means that it can be expressed as a direct product of two nontrivial, disjoint proper subgroups. If G is infinite, being strongly indecomposable means that all its finite index subgroups are indecomposable. In this talk, we will explore these concepts for several classes of groups that have interesting geometrical and combinatorial properties : Coxeter groups, Artin groups, and virtual Artin groups. We will examine examples of decomposable Coxeter groups and review the existing results on the indecomposability of some Coxeter and Artin groups. Finally, we will use this information to investigate the decomposability of virtual Artin groups.

On s’interesse à calculer et construire des barycentres de type Wasserstein sur des distributions Gaussiennes qui satisfont la propriété de préserver les marginales. Dans un premier temps, nous allons rappeler les définitions usuelles et faire un bref rappel sur le transport optimal pour pouvoir définir le problème. Plus d’explications du cas Gaussien seront données et notamment comment se rapproche le transport optimal dans ce cas à des notions équivalentes sur les matrices définies positives.
Ensuite, nous considérerons le problème des barycentres de Wasserstein de Gaussiennes ne satisfaisant pas la propriété de contrainte marginale, en effet les marginales de barycentres de Wasserstein de loi Gaussiennes ne sont en général pas égales aux barycentres des marginales des lois considérées. Dans un tel scénario, nous allons énoncer des résultats qui précisent dans quel cas les contraintes marginales sont satisfaites. Dans un second temps, nous allons construire deux barycentres modifiés grâce aux précédents résultats qui satisfont la propriété de contrainte marginale. Nous montrerons également comment nous pouvons passer ces barycentres aux barycentres de mixtures de Gaussiennes, soit pour des mesures de probabilité qui sont des combinaisons convexes de lois Gaussiennes. Nous verrons ensuite comment ces barycentres modifiés se comportent par rapport au barycentre classique. Des résultats numériques seront présentés.

En 1932, John von Neumann publie son ouvrage fondamental Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, où il développe des concepts clés pour la mécanique quantique. Il introduit d’abord la théorie des opérateurs non bornés hermitiens, essentiels pour la représentation des observables physiques. Ces opérateurs permettent de formaliser les mesures en mécanique quantique, thème central de l’ouvrage. Von Neumann y aborde également la problématique de la mesure. Entre 1925 et 1932, la mécanique quantique se structure autour de deux approches principales : la mécanique matricielle de Heisenberg (1925) et l’équation différentielle de Schrödinger (1926). Cette période est marquée par une diversité de discours qui se complètent plus qui ne s’opposent. Mes recherches actuelles se répartissent en plusieurs axes. D’abord, j’explore les interactions entre les mathématiciens et les physiciens concernant la mécanique quantique. Ensuite, j’examine la problématique de la mesure en mécanique quantique, en particulier les postulats 5 et 6. Le postulat 5 traite de la réduction de la fonction d’onde, un processus
irréversible, tandis que le postulat 6 concerne l’évolution temporelle réversible des états quantiques selon l’équation de Schrödinger. Von Neumann a démontré mathématiquement que ces processus, bien que distincts, cohabitent sans mécanismes physiques clairement définis. Cette ambiguïté a conduit à diverses interprétations qui continuent de questionner les philosophes et les scientifiques, même si la plupart des physiciens considèrent la théorie quantique comme complète.

On cherche à maximiser l’entropie globalement sur un graphe donné c’est à dire sur toutes les trajectoires possibles. Lorsque le graphe est fini on peut montrer aisément qu’un tel processus est défini de manière unique : on l’appelle « la marche aléatoire maximale entropique ». Cependant, il est très difficile d’expliciter, même numériquement, les probabilités de transition ainsi que la mesure invariante de cette chaîne de Markov. En effet, ces quantités dépendent du spectre de la matrice d’adjacence A du graphe et plus précisément du rayon spectral ρ et du vecteur propre Ψ associé à celui-ci. Il se trouve que le carré de ce vecteur n’est rien d’autre que la probabilité invariante π de la marche aléatoire à entropie maximale. Dans cet exposé, on définira cette marche dans le cadre d’un graphe infini en donnant des critères d’existences et d’unicité. Sur ces derniers, on pourra naturellement effectuer des limites d’échelles de cette marche aléatoire et reconnaître des processus limites classiques. Le but est de mettre en lumière les propriétés de localisation et de diffusion de cette marche. On pourra aussi exposer quelques unes des applications de cette marche dans différents domaines scientifiques.

• Mathematical Properties of Continuous Ranked Probability Score Forecasting (Romain Pic, LmB)
• A1-homotopy theory (Krishna Madhavan, IMB)
• A finite volume scheme for vanishing viscosity solutions on a star-shaped graph under Kirchhoff and Kedem-Katchalski transmission conditions at the node (Florian Peru, LmB)
• Weak AR model modulated by a hidden Markov chain (Jean-Armel Bra, LmB)

Le « tore quantique » est une algèbre de von Neumann sur laquelle on peut définir des espaces Lp non commutatifs. Cet espace possède des propriétés similaires à l’ensemble de fonctions de classe L-infini sur le tore « classique » (i.e. commutatif), où l’on peut définir des séries de Fourier et donc également des multiplicateurs de Fourier. L’objectif ici est de comprendre un théorème concernant les multiplicateurs de Fourier définis sur ce nouvel espace. Pour cela, nous commencerons par évoquer la construction du tore quantique afin de saisir la notion de multiplicateur de Fourier sur cet espace. Ensuite, après avoir défini le concept de « complètement borné », nous présenterons le résultat principal : les multiplicateurs de Fourier complètement bornés sur le tore quantique sont finalement exactement les mêmes que ceux sur le tore classique.

In algebraic topology, Euclidean spaces Rn and Spheres Sn form a stark dichotomy in a sense that the former is always contractible and the latter never (with an exception of S∞). J.P. Serre in 1955 conjectured if affine spaces An in algebraic geometry should be treated similar to the Euclidean spaces. More precisely, he questioned the triviality of all vector bundles over An. After some amazing turn of events (including the birth of K-theory), it was answered in affirmation independently by Quillen and Suslin and is now called the Quillen-Suslin theorem. Following this line of thought, it is natural to ask that if a smooth scheme of dimension n over a field k is A1-contractible, then is it necessarily isomorphic to An ? Unfortunately, the exact analogy from topology fails in algebraic geometry. However, by restricting the question to the class of smooth affine schemes some hope has been established in low dimensions in recent times. But again this utterly fails for dimension 3 ≤ n. After introducing necessary
background, I will elucidate the importance of such a question and the existing obstructions in higher dimensions. We will also see that this question has a natural connection with the celebrated Poincaré conjecture. To this end, I will conclude by speculating some of our current work where we extend these results over an arbitrary Dedekind ring R (e.g., ring of integers) and its implications.

Les filières industrielles européennes doivent faire face à de nombreux défis. En particulier, dans un contexte de réchauffement climatique, les filières industrielles ont des objectifs de réduction d’émissions de gaz à effet de serre. L’objectif européen de « zéro émission de CO2 » concernant l’usage des véhicules en 2035 va provoquer une transformation des activités des entreprises industrielles. Pour cela, nous faisons l’hypothèse que les écosystèmes industriels sont similaires à des écosystèmes biologiques. L’objectif est alors de modéliser l’impact des transformations des filières industrielles, en nous appuyant sur des techniques issues de la modélisation des systèmes biologique.

Lors de mon mini-projet/projet de master, j’ai travaillé sur une famille d’équations aux dérivées partielles appelées loi de conservation fractionnaire. Le terme loi de conservation est lié au premier membre de mon équation et traduit le mouvement d’une quantité sans production ni perte de matière. Le terme fractionnaire est lié au second membre de mon équation défini par un opérateur appelé Laplacien fractionnaire, et dont son interprétation est plus complexe. Le but de mon travail a donc été d’étudier théoriquement ces équations, dans le cas linéaire puis non linéaire, de comprendre et d’implémenter des schémas numériques permettant d’approcher les solutions de ces équations.

Supersymmetry takes its origins in the early 70’s as a proposed physical theory. Since then, it has had tremendous development in the guise of supersymmetric quantum field theories and string theory, which have been very fertile in their interaction with mathematics : as an example, the actively studied mirror symmetry is inspired by a string duality. In this talk, we propose a quick
introduction to the idea of supersymmetries and the mathematical structures underlying them.