Colloquium

Résumé : L’ objet de cet exposé est, en particulier, de montrer que le choix des 7 notes de la gamme classique (do–ré–mi–fa–sol–la–si) parmi les 12 notes du système tempéré (do–do#-ré–ré#–mi–fa–fa#–sol–sol#–la–la#–si) est le seul choix possible qui satisfasse à des critères naturels liés à la transposition.
L’approche utilisée, qui n’emploie que des considérations mathématiques élémentaires, fournit également des justifications purement mathématiques ou combinatoires à l’usage de la gamme mineure augmentée (la–si–do–ré–mi–fa–sol#) ou d’autres gammes utilisées dans l’histoire (telle la gamme pentatonique javanaise), ou encore à l’importance d’autres gammes et accords classiques de l’harmonie musicale.

Résumé : On présente une réflexion sur l’importance de l’héritage de Peano pour les mathématiques actuelles. Peano a contribué de manière fondamentale en Logique, Théorie des ensembles, Arithmétique, Topologie, Géométrie, Espaces vectoriels, Calcul différentiel, Équations différentielles, Optimisation, Théorie de la mesure et autres. Cependant, maintes notions et résultats mathématiques portent les noms d’autres mathématiciens qui y ont contribué bien après Peano. Citons, par exemple, l’axiome du Choix de Zermelo, le théorème de Borel-Lebesgue, le théorème de Borel sur les fonctions lisses, la dérivée de Fréchet, le cône tangent de Bouligand, l’inégalité de Grönwall, la norme d’opérateur de Banach, les limites d’ensembles de Kuratowski-Painlevé, la grille de filtre de Choquet et le « sweeping-tangent theorem » de Mamikon.

Résumé : Si les mathématiques ont accompagné depuis toujours la réflexion sur les fondements théoriques de la musique, elles sont devenues incontournables dans l’analyse musicale computationnelle, en particulier à cause de l’articulation profonde entre formalisation théorique et modélisation informatique des structures et processus musicaux. En effet, à la suite de Mersenne, véritable fondateur d’une démarche combinatoire en musique, plusieurs propositions théoriques au sein de la tradition américaine ainsi que de l’« école formelle française » proposent un couplage permanent entre formalisations algébriques et représentations géométriques qui trouvent des applications tout à fait naturelles en analyse musicale assistée par ordinateur. Au-delà des aspects théoriques et informatiques, la recherche « mathémusicale » soulève également des questions qui touchent directement à l’acte musical. Cette conférence-concert croisera différentes représentations géométriques des structures musicales, de l’horloge chromatique au ruban de Möbius, de la spirale au tore. Elle alternera des présentations multimédia d’analyses musicales, des extraits sonores et des interprétations live.

Résumé : La Théorie des contrats (Lionel Thomas). A la suite des travaux du mathématicien Pontriaguine, l’optimisation dynamique a permis de faire avancer la recherche économique sur de nombreuses questions. Depuis trente ans, elle est étroitement liée au fulgurant développement de ce que l’on nomme la théorie des contrats. L’objet de cet exposé vise d’une part, à présenter les liens entre cet outil d’optimisation et cette théorie à travers le problème de sélection adverse et d’autre part, à faire état de quelques défis récents.
La Théorie des jeux coopératifs (Sylvain Béal). La théorie des jeux coopératifs modélise des situations de répartition de ressources générées par la réalisation d’un projet commun à un ensemble d’agents. L’objectif est de construire des règles d’allocation qui distribue (efficacement et équitablement) aux agents participant les fruits de leur coopération. L’objet de cet exposé sera de revenir sur le concept de valeur de Shapley et certaines de ses caractéristiques axiomatiques.