Zhenguo Wei soutiendra sa thèse, encadrée par Quanhua Xu (LmB), et intitulée : « Commutateurs de paraproduits de martingales et d’intégrales singulières non commutatifs » le vendredi 7 juin, à 9h30, au LmB, salles 316B et 316Bbis.
Un pot s’ensuivra en salle 309B.
Résumé de la thèse en français :
Cette thèse se compose de trois parties. La première partie concerne les meilleures constantes des inégalités de Littlewood-Paley-Stein non commutatives. Soient {T_t}_{t>0} un semigroupe de diffusion symétrique non commutatif sur une algèbre de von Neumann semi-finie mathcal{M} et {P_t}_{t>0} son semigroupe de Poisson subordonné associé. Junge, Le Merdy et Xu ont démontré l’inégalité suivante qui étend au cas non commutatif de la célèbre inégalité de Littlewood-Paley-Stein classique : Pour tout 1<p<8, on a begin{equation*} alpha_p^{-1}|x|_{p}le |x|_{p,P}le beta_p |x|_{p},quad xin L_p(M), end{equation*} où |cdot|_{p,P} est la norme L_p(M) des fonctions carrées associées à {P_t}_{t>0}, et alpha_p, beta_p sont les meilleures constantes dépendant uniquement de p. Nous montrons que beta_plesssim p text{ lorsque } 8 et p est l’ordre optimal de beta_p. Nous obtenons également des bornes inférieures et supérieures de alpha_p et beta_p dans les autres cas.
La deuxième partie se concentre sur la bornitude des commutateurs opérateurs impliquant des paraproduits de martingales. Nous montrons la bornitude des commutateurs opérateurs [pi_a,M_b] sur l’espace non commutatif L_p(mathbb{R},L_p(mathcal{M})) pour toute algèbre de von Neumann mathcal{M} et 1<p<infty, où pi_a est le paraproduit de martingales d-adiques avec le symbole ain BMO^d(mathbb{R}) et M_b est l’opérateur de multiplication à gauche non commutative avec bin BMO^d_mathcal{M}(mathbb{R}). De plus, nous étudions la propriété d’extrapolation des paraproduits de martingales semi-commutatives d-adiques en termes de l’espace BMO^d_mathcal{M}(mathbb{R}).
La troisième partie se porte sur les paraproduits de martingales non commutativs et des commutateurs opérateurs impliquant des opérateurs intégraux singuliers. Nous étudions l’appartenance à la classe de Schatten des paraproduits de martingales semi-commutatives et utilisons la méthode de transfert pour traiter des paraproduits martingales purement non commutatives, notamment pour les algèbres CAR et mathop{otimes}limits_{k=1}^{infty}mathbb{M}_{d} en termes d’espaces de Besov de martingales. En utilisant la technique de martingales dyadiques de Hytönen, nous obtenons également des conditions suffisantes sur l’appartenance à la classe de Schatten et la bornitude des commutateurs opérateurs impliquant des opérateurs intégraux singuliers généraux. Nous établissons la méthode de la médiane complexe et l’appliquons pour obtenir les conditions nécessaires optimales sur l’appartenance à la classe de Schatten des commutateurs opérateurs associés à des noyaux non dégénérés au sens de Hytönen. Cela résout le problème de la caractérisation de l’appartenance à la classe de Schatten des commutateurs opérateurs. Nos résultats sont nouveaux même dans le cas scalaire. Par une décomposition de type factorisation faible, nous obtenons des conditions nécessaires mais non optimales sur la bornitude des commutateurs opérateurs. De plus, nous donnons une nouvelle démonstration de la bornitude des commutateurs impliquant encore des opérateurs intégraux singuliers concernant l’espace BMO dans le cadre commutatif.
Résumé de la thèse en anglais :
This thesis consists three parts. The first part is about the best constants of the noncommutative Littlewood-Paley-Stein inequalities. Let {T_t}_{t>0} be a noncommutative symmetric diffusion semigroup on a semifinite von Neumann algebra mathcal{M}, and let {P_t}_{t>0} be its associated subordinated Poisson semigroup. Extending the celebrated noncommutative Littlewood-Paley-Stein inequality to the noncommutative setting, Junge, Le Merdy and Xu proved the following: For any $1egin{equation*}
alpha_p^{-1}|x|_{p}le |x|_{p,P}le eta_p |x|_{p},quad xin L_p(M),
end{equation*}
where |cdot|_{p,P} is the L_p(M)-norm of square functions associated with {P_t}_{t>0}, and alpha_p, beta_p are the best constants only depending on only p. We show that beta_plesssim p text{ lorsque } 8 et p and moreover, p is the optimal order of beta_p. We also obtain lower and upper bounds of alpha_p and beta_p in the other cases.
The second part focuses on the boundedness of operator-valued commutators involving martingale paraproducts. We show the boundedness of operator-valued commutators [pi_a,M_b] on the noncommutative L_p(mathbb{R},L_p(mathcal{M})) for any von Neumann algebra mathcal{M} and 1<p<infty
The third part of the thesis is about the boundedness and Schatten class property of noncommutative martingale paraproducts and operator-valued commutators involving singular integral operators. We study Schatten class membership of semicommutative martingale paraproducts and use the transference method to describe Schatten class membership of purely noncommutative martingale paraproducts, especially for CAR algebras and $mathop{otimes}limits_{k=1}^{infty}mathbb{M}_{d}$ in terms of martingale Besov spaces. Using Hyt »{o}nen’s dyadic martingale technique, we also obtain sufficient conditions on the Schatten class membership and the boundedness of operator-valued commutators involving general singular integral operators. We establish the complex median method and apply it to get the optimal necessary conditions on the Schatten class membership of operator-valued commutators associated with non-degenerate kernels in Hyt »{o}nen’s sense. This resolves the problem on the characterisation of Schatten class membership of operator-valued commutators. Our results are new even in the scalar case. By a weak-factorisation type decomposition, we get some necessary but not optimal conditions on the boundedness of operator-valued commutators. In addition, we give a new proof of the boundedness of commutators still involving general singular integral operators concerning $BMO$ spaces in the commutative setting.