Dans cet exposé, je présenterai la construction de solutions explosives de l’équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) L^2-critique sur un graphe étoilé. Ces solutions ont la masse minimale pour l’explosion et une valeur arbitraire de l’énergie. Le cas simple du graphe étoilé à deux branches correspond à (NLS) sur la droite avec un potentiel de Dirac à l’origine. Le cas général implique un opérateur de Laplace unidimensionnel sur chaque branche, avec une condition de Robin au nœud. La construction repose sur la résolution du problème de Cauchy non-linéaire dans le domaine de l’opérateur linéaire ainsi défini sur le graphe. Un changement de variable standard dans l’étude des solutions explosives permet de se ramener à l’analyse d’une solution globale en temps d’une équation modifiée (NLSm) et d’un système dynamique de dimension finie (paramètres de modulation). Une solution approchée de (NLSm) est obtenue en perturbant l’état fondamental de l’équation stationnaire associée à (NLSm) par un développement en puissances des paramètres de modulation. La conclusion suit par un contrôle précis, en temps long, du reste et des paramètres de modulation. Les résultats exposés sont le fruit d’une collaboration avec Stefan Le Coz et Julien Royer.
