Équations aux Dérivées Partielles

In this talk we present some results about the existence of normalized ground states on noncompact metric graphs for nonlinear Schrödinger equations involving possibly both a standard power nonlinearity and delta nonlinearities located at the vertices of the graph. In the first part, we review some results when the sole standard nonlinearity is present. In the second part, we present more recent results, both when only delta nonlinearities at the vertices are considered and when standard and delta nonlinearities cohexist. In the first case, we show that the ground state problem strongly depends on the degree of periodicity of the graph, the total number of delta nonlinearities and their dislocation in the graph. In the second case, we highlight that the existence of ground states is strongly affected by the value of the mass, the relation between the powers of the two nonlinear terms and by topological and metric properties of the graph itself. These results have been obtained in collaboration with R. Adami, S. Dovetta and E. Serra (Politecnico di Torino).

L'objet de ce séminaire est de présenter une théorie générale des gaps spectraux pour les équations de croissance-fragmentation. On le fera aussi bien dans les espaces de premier moment (sous une hypothèse de perte de masse dans le processus de fragmentation)) que dans les espaces de moments d'ordre supérieur où l'on peut capturer le cas conservatif.

Il s'agit d'équations de transport linéaires non collisionnelles mettant en jeu des opérateurs frontières (reliant les flux sortant et entrant) conservatifs. Ce travail présente deux volets. La première partie (en collaboration avec B. Lods et R. Rudnicki) porte sur l'existence d'une densité invariante et la stabilité asymptotique  (i.e. le retour à l'équilibre) du semigroupe L1 qui gouverne la dynamique.  La deuxième partie (en collaboration avec B. Lods) porte sur la quantification algébrique (i.e. le taux de convergence) de ce retour à l'équilibre.

This talk concerns the (generalized) Soler model : a nonlinear (massive) Dirac equation with a nonlinearity taking the form of a space-dependent mass. The equation admits standing wave solutions and they are generally expected to be stable (i.e., small perturbations in the initial conditions stay small) based on numerical simulations. However, contrarily to the nonlinear Schrödinger equation for example, there are few results in this direction. The results that I will discuss concern the simpler question of spectral stability (and instability), i.e., the absence (or presence) of exponentially growing solutions to the linearized equation around a solitary wave. As in the case of the nonlinear Schrödinger equation, this is equivalent to the presence or absence of "unstable eigenvalues" of a non-selfadjoint operator with a particular block structure. I will highlight the differences and similarities with the Schrödinger case, present some results for the one-dimensional case, and discuss open problems. This is joint work with Danko Aldunate, Edgardo Stockmeyer, and Hanne Van Den Bosch.

We prove sharp bounds on the enstrophy growth in viscous scalar conservation laws. The upper bound is, up to a prefactor, the enstrophy created by the steepest viscous shock admissible by the [katex]L^\infty[/katex] and total variation bounds and viscosity. This answers a conjecture by D. Ayala and B. Protas (Physica D, 2011), based on numerical evidence, for the viscous Burgers equation. This talk is based on a joint work with D. Albritton.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème inverse posé sur un réseau en forme d’arbre où nous avons sur chaque arête l’équation des ondes avec potentiel, les nœuds externes ont des conditions aux limites de Dirichlet et les nœuds internes suivent la loi de Kirchoff. L’objectif principal est la reconstruction du potentiel partout sur le réseau, à partir de mesures de Neumann sur tous les sommets externes sauf un. En tirant parti de la stabilité Lipschitzienne de ce problème inverse, nous visons à fournir un algorithme de reconstruction efficace basé sur l’utilisation d’une estimation de Carleman globale appropriée. Il s’agit d’un travail commun avec Lucie Baudouin, Maya de Buhan et Emmanuelle Crépeau.

Dans cet exposé nous discuterons des résultats obtenus récemment sur le temps minimal de contrôle pour les systèmes hyperboliques linéaires d’ordre un en dimension un d’espace.
Nous présenterons plusieurs situations où nous avons une formule de ce temps qui est explicite et facile à calculer en fonction des paramètres du système (vitesses, matrices de couplage interne et au bord).
Les preuves reposent sur plusieurs ingrédients : une décomposition canonique de type LU pour la matrice de couplage au bord, la méthode de compacité-unicité, la méthode de backstepping ou encore le théorème de convolution de Titchmarsh.
Cet exposé est basé sur plusieurs travaux en collaboration avec Long Hu.

Sur domaine borné (ouvert à bord, variété compacte avec ou sans bord), on rappellera comment l’observabilité des ondes et leur contrôlabilité sont des notions duales, pour se concentrer sur la première et un schéma de démonstration fondé, au moyen de mesures dans l’espace des phases, sur la compréhension de potentielles concentrations d’ondes. Ces mesures obéissent à une équation de transport. On regardera cette équation et ses conséquences pour le support de la mesure quand les coefficients de l’équation des ondes ont une régularité basse, C^1 dans notre cas. Cette régularité permet de définir des géodésiques mais pas de flot géodésique en général. Si le temps permet on regardera certaines subtilités qui se produisent au bord du domaine.