Séminaire doctorants

We prove explicit reciprocity laws for a class of formal Drinfeld modules having stable reduction of height one, in the spirit of those existing in characteristic zero. We begin by defining the Kummer pairing in the language of formal Drinfeld modules defined over local fields of positive characteristic. We then prove explicit formulas for this pairing in terms of the logarithm of the formal Drinfeld module, a certain Coleman power series, torsion points and the trace.

La paramétrisation dans le cas des corps de fonctions est remarquablement différente du revêtement modulaire classique sur le corps des nombres complexes et son étude présente de nombreux enjeux. Plus précisément, soient q une puissance d’un nombre premier, et \mathbb{F}_q l’unique corps à q éléments. Soit E une courbe elliptique non-isotriviale définie sur \mathbb{F}_q(T) par une équation de Weierstrass de la forme E\colon y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, \quad a_i \in \mathbb{F}_q[T], alors, la paramétrisation modulaire est une application rationnelle \phi \colon \overline{M}<em>\Gamma \rightarrow E, où \overline{M}</em>\Gamma est la courbe modulaire de Drinfeld. On s’intéresse au calcul de l’image des pointes de \overline{M}_\Gamma par \phi. Pour ce faire, nous étudierons les propriétés des fonctions thêtas et des arbres de Bruhat-Tits. On étudiera également un exemple de paramétrisation modulaire sur \mathbb{F}_2(T).

The theoretical advances on the properties of scoring rules over the past decades have broaden the use of scoring rules in probabilistic forecasting. In meteorological forecasting, statistical postprocessing techniques are essential to improve the forecasts made by deterministic physical models. Numerous state-of-the-art statistical postprocessing techniques are based on distributional regression evaluated with the Continuous Ranked Probability Score (CRPS). However, theoretical properties of such minimization of the CRPS have mostly considered the unconditional framework (i.e. without covariables) and infinite sample sizes. We circumvent these limitations and study the rate of convergence in terms of CRPS of distributional regression methods We find the optimal minimax rate of convergence for a given class of distributions. Moreover, we show that the k-nearest neighbor method and the kernel method for the distributional regression reach the optimal rate of convergence in dimension d\geq 2 and in any dimension, respectively.

Given a quantum tori \mathbb{T}<em>\theta^d, we can define the Riesz transforms \mathfrak{R}_j<em> on the quantum tori and the commutator dx_i := [\mathfrak{R}_i, M_x]<em>, where M_x<em> is the operator on L_2(\mathbb{T}</em>\theta^d)<em> of pointwise multiplication by x \in L_\infty(\mathbb{T}<em>\theta^d)<em>. In this talk, we will characterize the Schatten properties of the commutator [\mathfrak{R}_i, M_x]<em> by showing that x \in B^\alpha</em>{p,q}(\mathbb{T}<em>\theta^d)<em>, whereB^\alpha</em>{p,q}(\mathbb{T}_\theta^d)<em> is the Besov space on quantum tori. Futhermore, we will extend this characterisation to the more general case where \mathfrak{R}_j<em> replaced by an arbitrary Calderon-Zygmund operator. To date, these new results treat the quantum differentiability in the strictly noncommutative setting.

Multi-scale structures are very common in mechanical and bio-mechanical applications, for instance composite and porous materials. Full Finite Element Analysis (FEA) for stress prediction is usually very expensive in these structures as the FE mesh needs to be very dense to capture the effect of the fine scale features.
In this work we propose a Neural Network (NN) based domain decomposition method to tackle 3D multiscale problems. A wide range of NNs have recently been used to learn the response of FE models in computational mechanics problems. NNs with fully connected layers have been used for instance in (F.Roewer-Desprès et al, 15th International Symposium on Computer Methods in Biomechanics, 2018) but most commonly Convolutional Neural Networks (CNNs) are employed that are very efficient in working with images (V.Krokos et al., Arxiv, 2021). Unfortunately, the computational cost involved in training a CNN for 3D multiscale problems where the resolutions has to be very fine to reflect the effect of the microscale features is prohibitive.
To overcome this problem, we choose to train a Graph NN (GNN) that can operate directly on the FE mesh used to create the training data. In contrast to images that have a fixed resolution the FE mesh can be much denser in areas where the geometry is complicated or we expect big gradients of our quantity of interest and much coarser everywhere else (T.Pfaff et al., Arxiv, 2021). We use the formulation from (P.W.Battglia, Arxiv, 2018) that allows for a very natural encoding of information on the mesh where absolute information can be encoded on the vertices of the mesh while relative information is encoded on the edges of the mesh.
Lastly, we opt for a Bayesian GNN that is able to quantify the uncertainty of the prediction and provide not only a mean estimation but also credible intervals for the prediction.

Surveys are used to gather data from finite populations and estimate finite population parameters such as population totals, means or quantiles. Often, sampled elements refuse to cooperate and missing data follows. Nonresponse in surveys is usually handled through some form of imputation. Regression trees and random forests provide flexible tools for obtaining a set of imputed values. In this work, we provide a mathematical analysis of tree and random forest imputed estimators. The finite sample properties reveal a stability property pertaining to tree estimators which is lost for small forest estimators and recovered with large forests. The L^2-consistency of these estimators is obtained. We also present the results from a simulation study that investigates the performance of point estimators based on tree and random forest imputation in terms of bias and efficiency.

In this talk I am going to present a part of the work I carried out in course of my PhD with an aim of demonstrating the logic and intuition behind data-driven modelling. The context lies in the field of radiobiology, the ultimate goal being to develop a multiscale statistical approach that could assist medical decision-making in choosing the treatment by radiotherapy with the minimal potential side effects. I will take you through the process of choosing specific statistical tools in order to make sense out of given data. We are going to focus on defining and estimating the quantities of interest, and then performing joint clustering with alignment.

Depuis les années 1980, au coeur des enjeux de la cryptographie moderne, de nombreux schémas de cryptage pour l’envoi sécurisé d’informations ont étés proposés pour faire face à la menace du calcul quantique.
On se concentrera ici sur les schémas de type McEliece, dont la sécurité repose sur la difficulté à décoder un code linéaire aléatoire. L’objectif de cet exposé est de faire un tour d’horizon de ce domaine, qui relie théorie de l’information et théorie des courbes algébriques. En particulier, nous analyserons la sécurité d’un de ces schéma, qui utilise des codes géométriques construits sur un revêtement de Kummer de la droite projective.

Le théorème d’Alkoglu donne une propriété de dilatation isométrique pour les contractions positives dans les espaces L_{p} commutatifs. Ce résultat ne peut être étendu aux espaces L_{p} généraux. Le but de mon exposé est de traiter une classe d’opérateurs sur les espace L_{p} généraux : les multiplicateurs de Schur mesurables qui sous certaines hypothèses possèderont une propriété plus forte que la propriété de dilatation isométrique.

On s’intéresse à la version robuste des problèmes linéaires à variables binaires avec un ensemble d’incertitude ellipsoïdal corrélé. Puisque ce problème est NP-difficile, une approche heuristique intitulée DFW et basée sur l’algorithme de Frank-Wolfe est proposée.
Dans cette approche, nous examinons la puissance d’exploration des itérations internes binaires de la méthode. Pour les problèmes de petites tailles, la méthode est capable de fournir la solution optimale fournie par CPLEX, après quelques centaines d’itérations.
De plus, contrairement à la méthode exacte, notre approche s’applique à des problèmes de grandes tailles également. Les résultats numériques ont été appliqués au plus court chemin robuste. Un autre objectif est de proposer une relaxation semi-définie positive (SDP) pour le plus court chemin robuste qui fournit une borne inférieure pour valider des approches telles que l’algorithme DFW. Le problème relaxé est le résultant d’une bidualisation du problème. Puis le problème relaxé est résolu en utilisant une version creuse d’une méthode de décomposition dans un espace produit. Cette méthode de validation est adaptée aux problèmes de grande taille.
Finalement, une autre adaptation de l’algorithme de Frank-Wolfe a été réalisé pour le problème du k-médiane, accompagnée d’un algorithme d’arrondissement qui satisfait les contraintes.

Nous évoquerons la notion de corps p-quadratiques et discuterons de la conjecture de R. Greenberg de 2016 qui évoque l’existence de corps p-rationnels multiquadratiques. Nous évoquerons en particulier le cas des corps p-rationnels triquadratiques.

Dans cet exposé on abordera la question du plongement de certaines familles de graphes dans les espaces de Banach et on cherchera à comprendre en quoi l’existence de tels plongements peut avoir une influence sur leur géométrie.
Ces questions prennent place dans le cadre de la géométrie non-linéaire des espaces de Banach dont les objectifs sont l’étude de la préservation de certaines propriétés de ces espaces par des transformations non-linéaires, et la compréhension de l’influence de la structure métrique sous-jacente de ces espaces sur leur structure linéaire.
On s’intéressera plus particulièrement à des propriétés dites asymptotiques qui concernent les sous-espaces de codimension finie d’un espace de Banach (programme de Ribe asymptotique), et on verra en quoi certaines conditions de structure permettent de caractériser l’existence d’une norme asymptotiquement convexe sur un espace dual de façon purement métrique par le (non-)plongement de la famille des graphes diamants à branchements dénombrables.

Dans un objectif de prévention et/ou d’anticipation des accidents routiers, la modélisation statistique de la dépendance spatiale et des facteurs de risque potentiels représente un atout majeur.
L’ intérêt de cette étude se porte plus particulièrement sur la localisation géoréférencée des accidents. Nous avons croisé ces événements avec des co-variables caractérisant la zone géographique d’étude (socio-démographiques et infrastructures par exemple). Après une sélection de variables (méthodes de pénalisation, random forest, …), la survenue des accidents a été modélisée par un processus de Cox log-Gaussien spatial.
Les résultats de cette analyse permettent l’identification des principaux facteurs de risques d’accident et l’identification des zones critiques. Les données mises en application sont les accidents routiers s’étant produits entre 2017 et 2019 dans la CAGB (communauté urbaine de Besançon).

Etant donnée une variété riemannienne (M,g) compacte connexe à bord, le problème de Calderon consiste à montrer que l’on peut déterminer uniquement la métrique riemannienne g à partir de l’opérateur Dirichlet à Neumann, modulo les isométries qui préservent le bord. Dans cet exposé, j’introduirai le problème de Calderon anisotrope et ferai le tour des résultats existants sur le sujet. Puis, je montrerai une série de résultats montrant qu’il y a non-unicité dans les variantes suivantes :
1) pour des métriques lisses et des données de Dirichlet et de Neumann mesurées sur des ensembles disjoints du bord,
2) pour des métriques dans la classe d’Hölder et des données de Dirichlet et de Neumann mesurées sur un même ouvert propre du bord.
Il s’agit de travaux obtenus en collaboration avec Niky Kamran (McGill University) et François Nicoleau (Université de Nantes).