Directeur·ice·s : Quanhua Xu
Date de début : 01/10/2023
Sujet : Analyse non commutative et applications à la géométrie non commutative
Résumé : L'objet central du présent projet est l'intégration non commutative qui est au cœur des quantifications en physique et mathématiques. L'idée sous-jacente est d'oublier l'axiome de commutativité pour les algèbres de fonctions, ainsi les fonctions sont remplacées par des matrices ou opérateurs. Bien qu'assez ancienne, elle a connu un second départ à la suite de l'émergence des espaces d'opérateurs et des probabilités libres dans les années 1990 qui ont permis de lui donner un bon cadre et surtout de nouveaux outils pour aborder les problèmes de nature analytique des théories quantifiées. L'analyse non commutative fournit également un excellent point de vue pour étudier des questions en géométrie non commutative, comme en témoignent les récents travaux [9,10] de l'équipe de Fedor Sukochev de l'University of New South Wales (Sydney) sur le calcul différentiel quantique d'Alain Connes dans la géométrie non commutative. Les multiplicateurs de Fourier sont des outils primordiaux en analyse non commutative. Ces multiplicateurs ont non seulement leurs propres intérêts et aussi des applications importantes dans les domaines liés tels que la géométrie non commutative (déjà mentionnée plus haut), la théorie des perturbations d'opérateurs, la géométrie des groupes, comme le montrent les récents travaux [4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. On peut certainement s'attendre à ce qu'un développement en profondeur d'une théorie des multiplicateurs puisse ouvrir de nouvelles perspectives et fortement impacter le futur des théories quantiques. Cependant, il existe peu de résultats sur la bornitude de ces applications sur Lp non commutatif pour p fini. Plusieurs raisons l'expliquent : la non commutativité rend les choses bien moins maniables, beaucoup d'outils classiques ne sont plus valables. Les recherches sur les multiplicateurs de Fourier ont déjà connu des succès, une théorie de Calderón-Zygmund non commutative commence à se dessiner (voir [1]). Néanmoins, beaucoup reste à faire pour arriver à la richesse de la théorie commutative. Ce sujet de thèse s'inscrit dans le projet de l'ANR intitulé « Analyse non commutative dans les groupes et les groupes quantiques » dont le directeur est le porteur. Il est à la fois un renforcement d'un thème de recherche existant (l'étude de multiplicateurs de Fourier et Schur) du laboratoire de mathématiques de Besançon et aussi un élargissement de champs d'applications dans la géométrie non commutative et l'information quantique. L'équipe autour du porteur du projet a joué un rôle majeur dans le récent développement du sujet, comme le montre la bibliographie ci-dessous. L'objectif de ce projet est de se concentrer en premier lieu sur les développements des théories de multiplicateurs en analyse non commutative mais aussi sur leurs applications dans d'autres directions telles que la géométrie non commutative, la géométrie des groupes et l'information quantique. Le projet vise à établir des théorèmes à la Hörmander-Mikhlin pour les multiplicateurs sur certains groupes, qui conduirait à l'accomplissement d'une théorie de Calderón-Zygmund totalement non commutative. Uffe Haagerup et ses co-auteurs ont obtenu un critère remarquablement élégant sur la bornitude complète des multiplicateurs de Schur sur les algèbres de von Neumann des groupes libres (p égal à l'infini), voir [6,7]. Cependant, il n'existe peu de résultats significatifs sur la bornitude (complète) de ces multiplicateurs sur les espaces Lp associés pour p fini, il s'agit là d'un problème ouvert important de longue date qui fait partie du projet. Un autre sujet étroitement lié est d'élargir la recherche entamée dans [14] sur les groupes de Lie et d'autres groupes de bonne structure, d'une part, et de développer des applications à la convergence des séries ou intégrales de Fourier correspondantes, d'autre part. Le critère obtenu dans [5] ouvre de nouvelles pistes très intéressantes à explorer. Un autre volet est de mettre à profit l'analyse non commutative pour étudier le calcul différentiel quantique sur certains groupes abéliens déformés et leurs produits croisés. Cette piste est tout à fait nouvelle et s'annonce très prometteuse. Un objectif principal est d'établir le théorème d'indice pour le produit croisé tordu d'un groupe abélien et d'une algèbre de von Neumann. Pour cela, il faut d'abord regarder les espaces de Sobolev associés et les commutateurs de multiplicateurs de Fourier et d'opérateur de multiplication par des éléments dans le produit croisé. Là encore l'obtention de versions ad hoc de théorèmes à la Mikhlin sont le verrou principal. Il s'agit d'aller au-delà des techniques de transfert usuelles [4, 13] en tenant compte de la spécificité algébrique. Un troisième volet est de démontrer des inégalités fonctionnelles en utilisant les multiplicateurs de Fourier. Ces inégalités auront des applications à l'information quantique, surtout en ce qui concerne les notions d'entropie quantique (voir [2, 3, 17]). Bibliographie 1. Cadilhac, L. Weak boundedness of Calderón-Zygmund operators on NC L1-spaces. J. Funct. Anal. 274 (2018), 769-796. 2. Carlen, E.A, Lieb, E.H. Optimal hypercontractivity for Fermi fields and related NC integration inequalities. Comm. Math. Phys. 155 (1993), 27-46. 3. Carlen, E, Maas J. Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance. J. Funct. Anal. 273 (2017), 1810-1869. 4. Caspers, M, Parcet, J, Perrin, M, Ricard, É. Noncommutative de Leeuw theorems. Forum Math. Sigma 3 (2015), e21, 59 pp. 5. Conde-Alonso, J.M.; González-Pérez, A.M.; Parcet J. and Tablate, E. Schur multipliers in Schatten-von Neumann classes arXiv:2201.05511, accepté à Ann. of Math. 6. Haagerup, U, de Laat, T. Simple Lie groups without the approximation property. Duke Math. J. 162 (2013), 925-964. 7. Haagerup, U, Steenstrup, T, Szwarc, R. Schur multipliers and spherical functions on homogenous trees. Internat. J. Math. 21 (2010), 1337-1382. 8. Lafforgue, V, de la Salle, M. NC Lp-spaces without the CBAP. Duke. Math. J. 160 (2011), 71-116. 9. McDonald, E, Sukochev, F, Xiong, X. Quantum differentiability on quantum tori. Comm. Math. Phys. 371 (2019), 1231-1260. 10. McDonald, E, Sukochev, F, Xiong, X. Quantum Differentiability on Noncommutative Euclidean Spaces. Comm. Math. Phys. 379 (2020), 491-542. 11. Mei, T, Ricard, É. Free Hilbert Transforms. Duke Math. J. 166 (2017), 2232-2250. 12. Mei, T, Ricard, É, Xu, Q A Mikhlin multiplier theory for free groups and amalgamated free products of von Neumann algebras. Adv. Math. 403 (2022), article 108394. 13. Neuwirth, S, Ricard, É. Transfer of Fourier multipliers into Schur multipliers and sumsets in discrete group. Can. J. Math. 63 (2011), 1161-1187. 14. Parcet, J, Ricard, É, de la Salle, M. Fourier multipliers in SLn(R). Duke Math. J. 171 (2022), 1235-1297. 15. Potapov, D, Sukochev, F. Operator-Lipschitz functions in Schatten-von Neumann classes. Acta Math. 207 (2011), 375-389. 16. Ricard, É, Xu, Q. A noncommutative martingale convexity inequality. Ann. Probab. 44 (2016), 867-882 17. Zhang, H. Carlen-Frank-Lieb conjecture and monotonicity of α−z Rényi relative entropy. Adv. Math. 365 (2022), article 107053.